Teorema del limite centrale (CLT)

Che cos'è il teorema del limite centrale (CLT)?

Nella teoria della probabilità, il teorema del limite centrale (CLT) afferma che la distribuzione di una variabile campionaria approssima una distribuzione normale (cioè, una "curva a campana") man mano che la dimensione del campione diventa più grande, supponendo che tutti i campioni siano di dimensioni identiche, e indipendentemente dall'effettiva forma di distribuzione della popolazione.

Dirlo in un altro modo, CLT è una premessa statistica che, data una dimensione campionaria sufficientemente ampia da una popolazione con un livello finito di varianza, la media di tutte le variabili campionate della stessa popolazione sarà approssimativamente uguale alla media dell'intera popolazione. Per di più, questi campioni approssimano una distribuzione normale, con le loro varianze che sono approssimativamente uguali alla varianza della popolazione man mano che la dimensione del campione diventa più grande, secondo la legge dei grandi numeri.

Sebbene questo concetto sia stato sviluppato per la prima volta da Abraham de Moivre nel 1733, non è stato formalizzato fino al 1930, quando il noto matematico ungherese George Polya lo chiamò il Teorema del Limite Centrale.

Punti chiave

• Il teorema del limite centrale (CLT) afferma che la distribuzione delle medie campionarie approssima una distribuzione normale man mano che la dimensione del campione aumenta, indipendentemente dalla distribuzione della popolazione.
• Le dimensioni del campione uguali o superiori a 30 sono spesso considerate sufficienti per il CLT da contenere.
• Un aspetto chiave del CLT è che la media delle medie campionarie e delle deviazioni standard sarà uguale alla media e alla deviazione standard della popolazione.
• Una dimensione del campione sufficientemente ampia può prevedere le caratteristiche di una popolazione in modo più accurato.

Teorema del limite centrale

Comprensione del teorema del limite centrale

Per il teorema del limite centrale, la media di un campione di dati sarà più vicina alla media della popolazione complessiva in questione, all'aumentare della dimensione del campione, nonostante l'effettiva distribuzione dei dati. In altre parole, i dati sono accurati se la distribuzione è normale o aberrante.

Come regola generale, le dimensioni del campione di circa 30-50 sono ritenute sufficienti affinché il CLT contenga, il che significa che la distribuzione delle medie campionarie è distribuita abbastanza normalmente. Perciò, più campioni si prendono, più i risultati grafici assumono la forma di una distribuzione normale. Nota, però, che la teoria del limite centrale sarà ancora approssimata in molti casi per dimensioni del campione molto più piccole, come n=8 o n=5.

Il teorema del limite centrale è spesso usato in combinazione con la legge dei grandi numeri, che afferma che la media delle medie campionarie e delle deviazioni standard si avvicinerà all'eguaglianza della media e della deviazione standard della popolazione man mano che la dimensione del campione cresce, che è estremamente utile per prevedere con precisione le caratteristiche delle popolazioni.

Il teorema del limite centrale in finanza

Il CLT è utile quando si esaminano i rendimenti di un singolo titolo o di indici più ampi, perché l'analisi è semplice, a causa della relativa facilità di generazione dei dati finanziari necessari. Di conseguenza, investitori di ogni tipo si affidano al CLT per analizzare i rendimenti azionari, costruire portafogli, e gestire il rischio.

Dire, Per esempio, un investitore desidera analizzare il rendimento complessivo di un indice azionario che comprende 1, 000 azioni. In questo scenario, quell'investitore può semplicemente studiare un campione casuale di azioni per coltivare i rendimenti stimati dell'indice totale. Per essere al sicuro, utilizzare almeno 30-50 titoli selezionati casualmente in vari settori, dovrebbe essere campionato affinché il teorema del limite centrale sia valido. Per di più, i titoli precedentemente selezionati devono essere scambiati con nomi diversi per aiutare a eliminare i pregiudizi.