Definizione di probabilità congiunta

Che cos'è una probabilità congiunta?

La probabilità congiunta è una misura statistica che calcola la probabilità che due eventi si verifichino insieme e nello stesso momento. La probabilità congiunta è la probabilità che l'evento Y si verifichi nello stesso momento in cui si verifica l'evento X.

La formula per la probabilità congiunta è

La notazione per la probabilità congiunta può assumere diverse forme. La seguente formula rappresenta la probabilità di intersezione degli eventi:

P ( X ? sì ) dove: X , sì = Due eventi diversi che si intersecano P ( X e sì ) , P ( X sì ) = La probabilità congiunta di X e Y \begin{allineato} &P\ \left ( X\bigcap Y \right ) \\ &\textbf{dove:}\\ &X, Y =\text{Due eventi diversi che si intersecano}\\ &P(X \text{ e } Y), P(XY) =\text{La probabilità congiunta di X e Y}\\ \end{allineato} ​P (X⋂Y)dove:X, Y=Due eventi diversi che si intersecano P(X e Y), P(XY)=La probabilità congiunta di X e Y​

Cosa ti dice la probabilità congiunta?

La probabilità è un campo strettamente correlato alle statistiche che si occupa della probabilità che un evento o un fenomeno si verifichi. È quantificato come un numero compreso tra 0 e 1 compreso, dove 0 indica una possibilità impossibile di accadimento e 1 denota il certo esito di un evento.

Per esempio, la probabilità di estrarre un cartellino rosso da un mazzo di carte è 1/2 =0,5. Ciò significa che c'è la stessa possibilità di pescare un rosso e pescare un nero; poiché ci sono 52 carte in un mazzo, di cui 26 rossi e 26 neri, c'è una probabilità 50-50 di pescare un cartellino rosso rispetto a una carta nera.

La probabilità congiunta è una misura di due eventi che accadono contemporaneamente, e può essere applicato solo a situazioni in cui possono verificarsi più osservazioni contemporaneamente. Per esempio, da un mazzo di 52 carte, la probabilità congiunta di pescare una carta che sia sia rossa che 6 è P(6 ∩ rosso) =2/52 =1/26, poiché un mazzo di carte ha due sei rossi:il sei di cuori e il sei di quadri. Poiché gli eventi "6" e "rosso" sono indipendenti in questo esempio, puoi anche usare la seguente formula per calcolare la probabilità congiunta:

P ( 6 ? R e D ) = P ( 6 ) × P ( R e D ) = 4 / 5 2 × 2 6 / 5 2 = 1 / 2 6 P(6 \cap rosso) =P(6) \times P(rosso) =4/52 \times 26/52 =1/26 P(6∩rosso)=P(6)×P(rosso)=4/52×26/52=1/26

Il simbolo "∩" in una probabilità congiunta è indicato come intersezione. La probabilità che l'evento X e l'evento Y si verifichino è la stessa cosa del punto in cui X e Y si intersecano. Perciò, la probabilità congiunta è anche chiamata intersezione di due o più eventi. Un diagramma di Venn è forse il miglior strumento visivo per spiegare un'intersezione:

Dal Venn sopra, il punto in cui entrambi i cerchi si sovrappongono è l'intersezione, che ha due osservazioni:il sei di cuori e il sei di quadri.

La differenza tra probabilità congiunta e probabilità condizionata

La probabilità congiunta non deve essere confusa con la probabilità condizionata, che è la probabilità che accada un evento dato che accade un'altra azione o evento. La formula della probabilità condizionata è la seguente:

P ( X , G io v e n sì ) o P ( X ? sì ) P(X, dato~Y) \text{ o } P(X | Y) P(X, dato Y) o P(X∣Y)

Questo per dire che la possibilità che accada un evento è subordinata al verificarsi di un altro evento. Per esempio, da un mazzo di carte, la probabilità che tu ottenga un sei, dato che hai pescato un cartellino rosso è P(6│rosso) =2/26 =1/13, poiché ci sono due sei su 26 cartellini rossi.

La probabilità congiunta tiene conto solo della probabilità che si verifichino entrambi gli eventi. La probabilità condizionata può essere utilizzata per calcolare la probabilità congiunta, come si vede in questa formula:

P ( X ? sì ) = P ( X ? sì ) × P ( sì ) P(X \cap Y) =P(X|Y) \times P(Y) P(X∩Y)=P(X∣Y)×P(Y)

La probabilità che si verifichino A e B è la probabilità che si verifichino X, dato che Y si verifica moltiplicato per la probabilità che si verifichi Y. Data questa formula, la probabilità di estrarre contemporaneamente un 6 e un rosso sarà la seguente:

P ( 6 ? R e D ) = P ( 6 ? R e D ) × P ( R e D ) = 1 / 1 3 × 2 6 / 5 2 = 1 / 1 3 × 1 / 2 = 1 / 2 6 \begin{allineato} &P(6 \cap rosso) =P(6|rosso) \times P(rosso) =\\ &1/13 \times 26/52 =1/13 \times 1/2 =1/26\ \ \end{allineato} ​P(6∩rosso)=P(6∣rosso)×P(rosso)=1/13×26/52=1/13×1/2=1/26​

Statistici e analisti utilizzano la probabilità congiunta come strumento quando due o più eventi osservabili possono verificarsi contemporaneamente. Ad esempio, la probabilità congiunta può essere utilizzata per stimare la probabilità di un calo del Dow Jones Industrial Average (DJIA) accompagnato da un calo del prezzo delle azioni di Microsoft, o la possibilità che il valore del petrolio aumenti mentre il dollaro USA si indebolisce.